Αξιότιμε κύριε Αντιπρύτανη, κύριε Πρόεδρε του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης, κύριε Πρόεδρε της Οργανωτικής Επιτροπής, κύριε Πρόεδρε της Παιδαγωγικής Εταιρείας Ελλάδας, κύριε Πρόεδρε της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, αξιότιμες κυρίες και κύριοι:
Το Συνέδριο αυτό διεξάγεται σε μια συγκλονιστική συγκυρία. Ζούμε σήμερα τη μεγαλύτερη χρηματοπιστωτική κρίση της μεταπολεμικής περιόδου και ήμασταν μάρτυρες προχθές της μεγάλης ανατροπής του πολιτικού σκηνικού σε παγκόσμια κλίμακα με την εκλογή του Obama στην προεδρία των ΗΠΑ. Τα δύο αυτά φαινόμενα μοιράζονται ένα κοινό χαρακτηριστικό: τη χρήση των Μαθηματικών και της Στατιστικής στο παρασκήνιο.
Πράγματι, η ερμηνεία, η πρόβλεψη των εξελίξεων, η αποτελεσματικότητα εναλλακτικών μέτρων – σε διεθνές και εθνικό επίπεδο – δεν θα ήταν δυνατή, χωρίς τη βοήθεια προχωρημένων μαθηματικών υποδειγμάτων λειτουργίας των χρηματαγορών και της πραγματικής οικονομίας. Όλη η συζήτηση διεξάγεται και στη βάση συμπερασμάτων από μαθηματικά μοντέλα.
Εξ΄ άλλου, η προεκλογική καμπάνια στις ΗΠΑ, χρησιμοποίησε κατά κόρον μαθηματικά υποδείγματα και στατιστική ανάλυση για τη διερεύνηση των αντιδράσεων κοινωνικών ομάδων, πολλαπλών χαρακτηριστικών – εισόδημα, κοινωνική προέλευση, μόρφωση, ηλικία κτλ – με σκοπό να μεγιστοποιηθεί η επίπτωση πολιτικών προγραμμάτων στο εκλογικό σώμα.
Θέλω να αναφέρω αυτά τα φαινόμενα της συγκυρίας για να σας μεταφέρω ευθύς εξ΄ αρχής την άποψή μου για τη χρησιμότητα των μαθηματικών στις κοινωνικές επιστήμες.
Συμμετέχω και παρακολουθώ αυτό το Συνέδριο με διπλό ενδιαφέρον. Λόγω της παλιάς επαγγελματικής μου ιδιότητας και λόγω της εμπειρίας μου ως πρώην Υπουργός Παιδείας.
Επειδή ίσως δεν είναι σε όλους γνωστό, σας πληροφορώ ότι ανήκω στους οικονομολόγους που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στην έρευνά τους. Μαθητής του Samuelson του ΜΙΤ, χρησιμοποίησα τα μαθηματικά για την ανάπτυξη λειτουργικά σημαντικών θεωρημάτων (operationally meaningful propositions) και τη στατιστική για υποδείγματα που ερμηνεύουν οικονομικά φαινόμενα.
Στο χώρο αυτό έκανα αισθητή την παρουσία μου αποδεικνύοντας μαθηματικά και επιβεβαιώνοντας εμπειρικά ότι στις υπό ανάπτυξη χώρες ο ρυθμός ανάπτυξης δεν προσδιορίζεται από το επίπεδο αποταμίευσης αλλά, αντίθετα, η αποταμίευση προσδιορίζεται από το ρυθμό ανάπτυξης που επιτρέπει το εξωτερικό έλλειμμα – εξωτερική αποταμίευση, δηλαδή το έλλειμμα ισοζυγίου πληρωμών. Αυτό που εδώ και 45 χρόνια θεωρήθηκε παράδοξο, κατέστη αυτονόητο μόνο με τη βοήθεια μαθηματικής επεξεργασίας.
Ο δεύτερος λόγος του ενδιαφέροντός μου σας είναι γνώριμος. Ως Υπουργός Παιδείας, στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής μεταρρύθμισης, ασχολήθηκα ιδιαίτερα με το μάθημα των μαθηματικών στο πρόγραμμα Γενικής Παιδείας.
Γι΄ αυτό ας μου επιτραπεί να προσεγγίσω το θέμα μου από το πρίσμα αυτών των εμπειριών.
Η θέση των Μαθηματικών στο χώρο της Παιδείας δεν υπήρξε σταθερή στην πορεία των αιώνων. Στην αρχαία Ελλάδα και στη λεγόμενη κλασσική παιδεία, τα μαθηματικά εθεωρούντο αναπόσπαστο μέρος της Παιδείας, μαζί με τη μουσική και την αρμονία, για τη διάπλαση της προσωπικότητας του ατόμου. Η παιδεία ήταν ένα ενιαίο σύνολο που ενσωμάτωνε τα Μαθηματικά που εθεωρούντο απαραίτητα για την αυτογνωσία, για τη θεώρηση του κόσμου, τη γεωμετρία και την αρμονία του.
Δίπλα σε αυτό το ρόλο των μαθηματικών, συνυπήρχε και ένας άλλος, ο χρηστικός ρόλος. Τα μαθηματικά, από την Αριθμητική ως τη Γεωμετρία, ήταν χρήσιμα εργαλεία για τις πρακτικές ανάγκες, από την απλή μέτρηση, την αριθμητική, ως τη μέτρηση του εμβαδού ενός κτήματος ή του ύψους των πυραμίδων.
Η ενσωμάτωση του διττού ρόλου των μαθηματικών στο χώρο της Παιδείας άρχισε να χαλαρώνει με την πάροδο του χρόνου και με την εντυπωσιακή εξέλιξη της επιστήμης και τη συνεπακόλουθη εξειδίκευση ή, αν θέλετε, με την πολυδιάσπαση της επιστήμης σε σχεδόν αυτόνομους τομείς. Tα μαθηματικά έπαυσαν ουσιαστικά να θεωρούνται απαραίτητο στοιχείο γενικής παιδείας για τη διάπλαση του ατόμου και διατήρησαν μόνο τον «χρηστικό» τους ρόλο. Ο σπουδαστής μαθαίνει όσα μαθηματικά θεωρούνται απαραίτητα για τη ζωή και το επάγγελμά του.
Με την αντίληψη αυτή ήρθα αντιμέτωπος ως Υπουργός Παιδείας όταν, στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής μεταρρύθμισης, επιμείναμε στην προσέγγιση της γενικής παιδείας. Ο μαθητής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ανεξάρτητα από ποια ειδίκευση θα επιλέξει αργότερα, πρέπει να μάθει τα ελληνικά του, την ιστορία του, στοιχεία των θετικών επιστημών αλλά και μαθηματικά γενικής παιδείας – που εστιάζονται όχι τόσο στο χρηστικό ρόλο των μαθηματικών αλλά στο θεωρητικό ρόλο, στη «μελέτη – όπως ορίζει ο Κολμογκόρωφ – των ποσοτικών σχέσεων και των μορφών του χώρου, στον πραγματικό κόσμο»
Τα μαθηματικά γενικής παιδείας διδάσκονται για να δίνουν στους μαθητές την ευκαιρία να ακονίζουν το μυαλό τους, να μάθουν να σκέφτονται ορθολογικά, να αποκτήσουν κρίση, γνώμη, αυτοπεποίθηση και αυτοσεβασμό. Για μαθητές που έχουν πρόθεση να προχωρήσουν αργότερα σε επιστήμες που είναι στενά συνδεδεμένες με τα μαθηματικά, ο καθαρά χρηστικός ρόλος των μαθηματικών, σ΄ αυτό το επίπεδο , καλύπτεται με τα μαθηματικά κατεύθυνσης. Εδώ προκύπτουν δύο ζητήματα που θέλω πολύ σύντομα να σχολιάσω:
(α) τα Μαθηματικά Γενικής παιδείας δεν μπορούν να είναι μια απλουστευμένη μορφή των Μαθηματικών κατεύθυνσης. Είναι μάθημα της μαθηματικής σκέψης και όχι εξάσκηση στη λύση πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων ή ολοκληρωμάτων. Έχω την εντύπωση ότι τα θέματα στις Αμερικανικές (SAT) ή τις αγγλικές (GCE) εξετάσεις απαιτούν μαθηματική σκέψη και λιγότερο μαθηματική τεχνική. Εμείς δεν καταφέραμε να διαμορφώσουμε ένα Πρόγραμμα Γενικής Παιδείας που να ικανοποιεί αυτό το στόχο. Ίσως γι΄ αυτό το λόγο οι μαθητές μας δεν πάνε καλά στις διεθνείς αξιολογήσεις στα Pizza scores. Σύμφωνα με διεθνείς μετρήσεις, λιγότεροι από 50% των μαθητών του Λυκείου δήλωσαν ότι τους αρέσουν τα μαθηματικά. Οι ίδιες μελέτες επίσης δείχνουν ότι το «άγχος των μαθηματικών» έχει αρνητική επίδραση στην επίδοση των μαθητών. Αντίθετα, κατάλληλα αναλυτικά προγράμματα και ειδικά εκπαιδευόμενοι εκπαιδευτικοί επηρεάζουν θετικά την επίδοση των μαθητών, αναβαθμίζουν την αυτοπεποίθηση και αυτό-εκτίμησή τους και ανεβάζουν αισθητά το επίπεδο αναλυτικής ικανότητας.
Είναι ζήτημα βελτίωσης του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών γενικής παιδείας αλλά και κατάλληλης εκπαίδευσης των εκπαιδευτικών. Τονίζω αυτό το σημείο γιατί πιστεύω ότι είναι καθοριστικό στο να καταστήσουμε το μάθημα των μαθηματικών ελκυστικό για τους μαθητές.
(β) Είχαμε αξιωματικά τοποθετηθεί ότι το μάθημα των Μαθηματικών παίζει καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη του μαθητή και ακόμα ότι η επίδοση στα μαθηματικά σχετίζεται θετικά με την επίδοση σε άλλα μαθήματα. Ερώτημα: Υπάρχουν αξιόπιστες ποσοτικές ή έστω ποιοτικές έρευνες που να στηρίζουν αυτές τις απόψεις; Δυστυχώς, δεν υπάρχουν. Εδώ είναι ένα πολύ σημαντικό πεδίο έρευνας και θα ήθελα να το θέσω υπόψη σας. Κατανοώ τις δυσκολίες, αλλά μια τέτοια μελέτη πιστεύω ότι πρέπει να προχωρήσει.
Μαθηματικά και Κοινωνικές Επιστήμες:
Ένα ον, διανοητικά ανώτερο του ανθρώπου, το ον του Laplace, θα μπορούσε να ενοποιήσει όλες τις κοινωνικές επιστήμες (οικονομικά, κοινωνιολογία, πολιτική επιστήμη, νομικά κ.α.) σε μια ενιαία γενική θεωρία, μια και όλες οι επιστήμες μελετούν τον ίδιο κόσμο, τον άνθρωπο, ανθρώπινα σύνολα και υποσύνολα, τους κοινωνικούς και οικονομικούς θεσμούς, τις αλληλοεπιδράσεις αναμεταξύ τους και με το περιβάλλον.
Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν αναλογίες ανάμεσα σε βασικά χαρακτηριστικά των επιμέρους επιστημών, η διάσπαση του ενιαίου συνόλου σε επιμέρους θεωρίες, είναι ομολογία ότι ο ανθρώπινος νους αδυνατεί να ανακαλύψει τη γενική θεωρία που ενοποιεί όλες αυτές σε σχέση με τα βασικά τους χαρακτηριστικά.
Γι΄ αυτό, καμιά από τις κοινωνικές επιστήμες δεν μπορεί να καταστεί πλήρης και αυτόνομη. Και γι΄ αυτό, σ΄ αυτές τις επιστήμες, η έρευνα ασχολείται περισσότερο με υποδείγματα, δηλαδή μοντέλα, παρά με γενική θεωρία. Τα υποδείγματα είναι εξ ορισμού ατελή αφού αναγνωρίζουν ένα μέρος του συνόλου, θεωρώντας σταθερό ότι είναι έξω από την έρευνα του μοντέλου. Είναι όμως ικανοποιητικά, στο βαθμό που μας βοηθούν στην καλύτερη, αν και όχι πλήρη, κατανόηση του ερευνώμενου χώρου. Το ίδιο περίπου συμβαίνει και στις λεγόμενες θετικές επιστήμες.
Υπάρχει όμως μια θεμελιώδης διαφορά με τις θετικές επιστήμες και αυτό αφορά στη δυνατότητα του «ελεγχομένου πειράματος» (controlled experiment). Στις κοινωνικές επιστήμες, το υποκείμενο της έρευνας, η οικονομία, η κοινωνία, μια συγκεκριμένη κοινωνική τάξη, το Έθνος, δεν μπορούν να εξετασθούν σε συνθήκες εργαστηρίου. Δεν μπορούμε, με άλλα λόγια, να εκτιμήσουμε τη συμπεριφορά τους κάτω από μεταβαλλόμενες συνθήκες. Είμαστε έτσι αναγκασμένοι να συνάξουμε συμπεράσματα βάσει υποθέσεων που δεν αντικρούονται από εμπειρικές παρατηρήσεις. Να συνάξουμε δηλαδή λειτουργικά σημαντικά θεωρήματα (operationally meaningful theorems). Δεν είμαστε όμως βέβαιοι ότι αυτά τα θεωρήματα / αποτελέσματα θα επαληθευθούν και στο μέλλον ή κάτω από άλλες καταστάσεις, όταν οι παράμετροι των παραγόντων που αφήσαμε έξω από την έρευνα αλλάξουν.
Γι΄ αυτό το λόγο κυρίως, αλλά όχι μόνο γι΄ αυτό, θεωρήθηκε από πολλούς ότι οι σχέσεις που εμπλέκονται στις κοινωνικές επιστήμες δεν μπορούν να ερευνηθούν με μαθηματικά μοντέλα. Η άποψη αυτή δεν ευσταθεί και αντικρούεται άλλωστε και από την ίδια την ιστορία. Πράγματι, και αντίθετα στη γενική εντύπωση, τα μαθηματικά χρησιμοποιήθηκαν στις κοινωνικές επιστήμες από την αρχή της ανάπτυξής τους, τον 17ο αιώνα και μετά. Σήμερα, βέβαια, χρησιμοποιούνται ευρύτατα, σχεδόν σ΄ όλες τις κοινωνικές επιστήμες. Θα αναφέρω παραδείγματα κυρίως από την οικονομική επιστήμη, γιατί γι΄ αυτήν είμαι ενήμερος.
Αρχίζω με δύο γενικές παρατηρήσεις:
Τα βασικά θεωρήματα της οικονομικής επιστήμης αναπτύχθηκαν με βάση τη μαθηματική ανάλυση.
Οι μεγάλες τομές στην οικονομική επιστήμη έγιναν κατά κανόνα είτε από φιλοσόφους με μαθηματική κατάρτιση , είτε από μαθηματικούς , είτε από κοινωνικούς επιστήμονες με μαθηματική κατάρτιση .
Μία σύντομη ιστορική αναδρομή.
Όπως σας είπα, η χρήση των μαθηματικών στις κοινωνικές επιστήμες πάει πίσω στον 17ο αιώνα, σε πολλές έρευνες στη Γερμανία και στην Αγγλία. Όμως, η πιο συστηματική χρήση των μαθηματικών στα οικονομικά αρχίζει τον 19ο αιώνα. Η ανάπτυξη των θετικών επιστημών οδήγησε οικονομολόγους να αναζητήσουν μια πιο φορμαλιστική προσέγγιση στην έρευνά τους. Ο W.S. Jevons έγραψε τη «Γενική Μαθηματική Θεωρία της Πολιτικής Οικονομίας» το 1862 και έθεσε τις βάσεις της θεωρίας της οριακής ωφελιμότητας στην πολιτική οικονομία. Σε ένα μεταγενέστερο βιβλίο του «Αρχές Επιστήμης» το 1862, δηλώνει ότι «η επιστήμη μας πρέπει να είναι μαθηματική απλά γιατί ασχολείται με ποσότητες».
Λίγο αργότερα, δύο καθηγητές μαθηματικών άνοιξαν το δρόμο γι΄ αυτά που αποκαλούμε σήμερα «μερική ισορροπία» (partial equilibrium) και » γενική ισορροπία» (general equilibrium). Πιο συγκεκριμένα, ο Γάλλος Cournot προσδιόρισε τους κανόνες λύσης του ολιγοπωλιακού ανταγωνισμού. Ήταν ο πρόδρομος της μαθηματικής θεωρίας των παιγνίων που αναπτύχθηκε το 1936 από τον Von Newman και τον Morgenstern, που είναι η βάση ενός ευρύτατου πεδίου οικονομικής ανάλυσης. Ο Γάλλο-Ελβετός Walras έβαλε τις βάσεις της θεωρίας της γενικής ισορροπίας που αποτελεί και σήμερα τον κύριο κορμό της οικονομικής θεωρίας. Ακολούθησε ο επίσης μαθηματικός Pareto, που υπέδειξε ότι το σημείο της Βαρλασίας ισορροπίας είναι επίσης και το optimum σημείο της οικονομίας (αποτελεσματικότητα κατά Pareto, Pareto efficient). Η πλήρης απόδειξη αυτών των θεωρημάτων επετεύχθηκε αργότερα από τον μαθηματικό Von Newman (1936) και τους μαθηματικούς οικονομολόγους Kenneth Arrow και Gerald Debreu.
Παράλληλα με την έρευνα του Walras και του Pareto, ο άγγλος μαθηματικός – οικονομολόγος Evans Edgeworth, έγραψε την «Πραγματεία για την εφαρμογή των μαθηματικών στις Ηθικές Επιστήμες (1981) και άνοιξε το δρόμο για την ανάλυση των αποφάσεων στη βάση της θεωρίας της ωφελιμότητας. Ακόμα και σήμερα, η λεγόμενη καμπύλη αποδοχής Edgeworth (Edgeworth contract curve) που περιγράφει όλες τις δυνατές λύσεις ισορροπίας ανάμεσα σε άτομα που λειτουργούν σε συνθήκες ανταγωνισμού αποτελεί τον πυρήνα της οικονομικής ανάλυσης σ΄ αυτόν τον τομέα.
Η μεγάλη όμως έκρηξη της χρήσης των μαθηματικών στις κοινωνικές επιστήμες γενικά και στα οικονομικά ειδικότερα έγινε κατά τη διάρκεια και αμέσως μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο. Εδώ δεν πρόκειται για σύμπτωση. Αυτό που συνέβη είναι το εξής αξιοσημείωτο: Κάτω από τις πιεστικές ανάγκες του πολέμου και της ανάπτυξης της Σοβιετικής Ένωσης, στρατολογήθηκαν επιστήμονες πολλών τομέων – οικονομολόγοι, κοινωνιολόγοι, ψυχολόγοι, μαθηματικοί, μηχανικοί, φυσικοί κ.α. να λύσουν επείγοντα προβλήματα οργάνωσης της πολεμικής βιομηχανίας, των συστημάτων πληροφόρησης, της οργανωτικής υποδομής των ενόπλων δυνάμεων, της οργάνωσης της οικονομίας κάτω από συνθήκες έκτακτης ανάγκης , του κεντρικού σχεδιασμού της οικονομίας της Σοβιετικής Ένωσης.
Ο Leontief έφερε από τη Ρωσία την εμπειρία των 5ετών προγραμμάτων, το μοντέλο εισροών – εκροών που άνοιξε το δρόμο σε μια ικανοποιητική ανάλυση της επίδρασης των αλλαγών στη ζήτηση σε έναν τομέα στην παραγωγή στους άλλους τομείς.
Το μαθηματικό μοντέλο ανάπτυξης του E. Domar και τα μοντέλα Harrod-Domar, Solow και άλλων, έχουν τις ρίζες τους σε ζητήματα συσσώρευσης κεφαλαίου που προέκυψαν στα 5ετή προγράμματα και στις ανάγκες της ανασυγκρότησης και ανάπτυξης των οικονομιών στη μεταπολεμική περίοδο.
Τα μαθηματικά μοντέλα γραμμικού και μη γραμμικού προγραμματισμού που αρχικά αναπτύχθηκαν για τις ανάγκες του πολεμικού σχεδιασμού, βρήκαν αμέσως χρήση στην εφαρμογή οικονομικών θεμάτων. Το ίδιο και τα μαθηματικά μοντέλα της επιχειρησιακής έρευνας (Operation Research) που σήμερα αποτελούν τη βάση έρευνας κυρίως στο χώρο των επιχειρήσεων.
Η κορωνίδα όμως της έκρηξης των μαθηματικών στην οικονομική επιστήμη ήταν η συμβολή του Paul Samuelson με το καταλυτικό του βιβλίο «Θεμέλια της οικονομικής Ανάλυσης» (1947). Ο Samuelson κατόρθωσε να προσδιορίσει ένα κοινό παράδειγμα (paradigm) και κοινή μαθηματική δομή που καλύπτει πολλά πεδία της οικονομίας, ενοποιώντας έτσι την οικονομική επιστήμη. Γι΄ αυτό το μνημειώδες έργο, χρησιμοποίησε μαθηματικές έννοιες από άλλες επιστήμες, τη Χημεία και τη Φυσική.
Παράλληλη ανάπτυξη είχε και η χρήση της στατιστικής στην οικονομία. Η οικονομετρία πράγματι αναπτύχθηκε ραγδαία τις τελευταίες δεκαετίες και φυσικά διευκολύνθηκε από τη μεγάλη πρόοδο που συντελέσθηκε στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.
Απολογισμός και κριτική:
Είναι σαφές ότι τα μαθηματικά δεν μπορούν να καλύψουν εγγενείς αδυναμίες μιας επιστήμης αλλά μπορούν να βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόησή της επιστήμης και συγκεκριμένα:
(α) Για να κατανοήσουμε πως λειτουργεί ένα σύστημα, ποιες είναι οι ιδιότητές του, ποια η αναμενόμενη συμπεριφορά του
(β) Για να ερμηνεύσουμε τη λειτουργία ενός συστήματος ή υποσυστήματος με βάση στατιστικά δεδομένα και να αναπτύξουμε ένα υπόδειγμα για προβλέψεις.
(γ) Για να μετρήσουμε μεγέθη και να τα εκφράσουμε με τη μορφή δεικτών.
Ας τα πάρουμε λοιπόν με τη σειρά. Είναι βέβαια γνωστό ότι τα οικονομικά θέματα εμπεριέχουν τόσες πολλές μεταβλητές ώστε η λύση τους να μην καθίσταται δυνατή χωρίς προσφυγή σε μαθηματική ανάλυση. Ακόμα και απλά θέματα παίδεψαν για δεκαετίες τους οικονομολόγους και λύθηκαν μόνο με μαθηματική ανάλυση.
Πάρτε για παράδειγμα την καμπύλη της ζήτησης για ένα αγαθό (τη σχέση δηλαδή μεταξύ τιμής και ποσότητας ζήτησης). Γιατί η κλίση της καμπύλης είναι αρνητική; Όπως λέει ο Samuelson, «με λίγο κακή ψυχολογία, λίγο κακή φιλοσοφία και ηθική, αρκετά κακή λογική, μπορεί να φθάσεις σ΄ αυτό το συμπέρασμα. Χωρίς όμως να το αποδείξεις». Η απόδειξη έγινε από τον μαθηματικό οικονομολόγο Slutsky το 1915 που χρησιμοποίησε τις στέρεες βάσεις της θεωρίας της ωφελιμότητας και της ιδιότητας κάθε ατόμου να μεγιστοποιεί την ωφελιμότητά του, υπό τον περιορισμό του δεδομένου εισοδήματός του.
Η ίδια ανάλυση ισχύει και για την καμπύλη προσφοράς με θετική όμως κλίση, πάλι με την υπόθεση ότι οι παραγωγοί μεγιστοποιούν τα κέρδη τους υπό τον περιορισμό του κόστους της παραγωγής. Και έτσι οι καμπύλες προσφοράς και ζήτησης μας δίνουν το σημείο τομής, την ισορροπία δηλαδή, στην αγορά προϊόντος. Αυτό το διάγραμμα το ξέρει τώρα και ο μαθητής Λυκείου. Αυτή είναι η δύναμη και η γοητεία των μαθηματικών. Μέσα από ένα θολό τοπίο, ξεκαθαρίζει τα πράγματα και βρίσκει τη λύση, απλή και – εκ των υστέρων, αλλά μόνο εκ των υστέρων – αυτονόητη.
Ένα άλλο, πιο πολύπλοκο αλλά επίκαιρο, παράδειγμα είναι το περίφημο διάγραμμα IS-LM του Keynes που δείχνει την τομή (δηλαδή την ισορροπία) ανάμεσα στην πραγματική οικονομία (κατανάλωση, αποταμίευση, επενδύσεις) και τη συμπεριφορά του χρηματοπιστωτικού συστήματος (προσφορά χρήματος και προτιμήσεις ρευστότητας). Σήμερα, όλοι κατανοούμε πως μπορούμε να πέσουμε στην «παγίδα της ρευστότητας» αλλά γράφτηκαν πολλοί τόμοι και πολλές ανοησίες μέχρις ότου να ξεκαθαρίσει τα πράγματα ο Keynes με το μαθηματικό του μοντέλο. Γιατί μπορεί ο Keynes να μην χρησιμοποίησε στο σύγγραμμά του μαθηματικά, αλλά δεν θα μπορούσε να φθάσει σ΄ αυτό το εντυπωσιακό συμπέρασμα εάν ο ίδιος δεν ήταν δεινός μαθηματικός. Και πάλι θέματα που ήταν ομιχλώδη, ξεδιαλύθηκαν με μαθηματικού τύπου σκεπτικό και κατέληξαν σ΄ ένα διάγραμμα που τώρα όλοι κατανοούν και το θεωρούν αυτονόητο.
Ήταν ο Samuelson που πρώτος παρατήρησε ότι το κοινό χαρακτηριστικό των περισσοτέρων τομέων στην οικονομική επιστήμη είναι η μεγιστοποίηση ενός στόχου (ωφελήματος, παραγωγής, κέρδους κ.α.) κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς (εισόδημα, παραγωγική βάση, κόστος κ.α.)
Πράγματι, τα 2/3 της οικονομικής επιστήμης και της ενασχόλησης των οικονομολόγων αφορούν επεξεργασία θεωρημάτων και λύσεις αυτού του τύπου. Το κοινό αυτό χαρακτηριστικό εξηγεί γιατί μέσα από το χάος των αμέτρητων αποφάσεων των ατόμων, των καταναλωτών, των παραγωγών κ.α. καταλήγουμε τελικά σε λύση γενικής ισορροπίας, και μάλιστα σε μοναδική λύση. Και ακόμη περισσότερο εξηγεί γιατί αυτό το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι και το optimum, αυτό που λέμε το κατά Pareto αποτελεσματικό σημείο.
Αν η πραγματικότητα έκλεινε με αυτή τη θεώρηση, θα ήταν μια πλήρης και κλειστή επιστήμη. Θα αρκούσε η ανάλυση της συγκριτικής στατικής, δηλαδή η αξιολόγηση δύο σημείων ισορροπίας κάτω από διαφορετικές παραμετρικές αξίες. Πράγματι, ένα μεγάλο μέρος της οικονομικής ανάλυσης στηρίζεται στη συγκριτική στατική. Αλλά η πραγματικότητα είναι διαφορετική. Υπάρχει αβεβαιότητα. Είναι ανθρώπινο να υπάρχει πάντοτε ελλιπής πληροφόρηση. Υπάρχουν στοιχεία που δεν τα γνωρίζουν οι συντελεστές, ή τουλάχιστον όλοι οι συντελεστές, του οικονομικού παιγνίου. Όπως υπάρχουν και στοιχεία που μπορεί να προκύψουν στο μέλλον που δεν τα ξέρουμε και φυσικά τα αγνοεί το υπόδειγμά μας. Η αβεβαιότητα όμως επηρεάζει τη συμπεριφορά του παίκτη. Η διαχείριση του ρίσκου – της αβεβαιότητας – διαφέρει από συντελεστή σε συντελεστή. Το αποτέλεσμα αυτού του φαινομένου είναι ότι η σταθερότητα της ισορροπίας δεν είναι δεδομένη. Αντίθετα, οφείλουμε να παραδεχθούμε ότι οι διακυμάνσεις – οι οικονομικοί κύκλοι – είναι αναπόφευκτες..
Η σκιαγράφηση αυτής της δυναμικής και ασταθούς πορείας συντελείται πάλι με μαθηματικά, με στοχαστικά και μη στοχαστικά μαθηματικά μοντέλα. Η ανάλυση είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και χωρίς αμφιβολία δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε κανένα θετικό βήμα χωρίς τη χρήση των μαθηματικών.
Ποιο είναι το συμπέρασμα; Το συμπέρασμα που προκύπτει από αυτά τα λίγα παραδείγματα είναι ότι η χρήση των μαθηματικών παίζει καταλυτικό ρόλο στην αναβάθμιση των κοινωνικών επιστημών. Αν και αναφέρθηκα μόνο σε παραδείγματα από την οικονομία, θα μπορούσα να παραθέσω ανάλογα παραδείγματα από την κοινωνιολογία , την πολιτική επιστήμη και τις διεθνείς σχέσεις.
Βέβαια, η μαθηματική ανάλυση δεν μπορεί να καλύψει τα εγγενή κενά και της αδυναμίες των διαφόρων κοινωνικών επιστημών. Οι κοινωνικές επιστήμες, όλες μαζί και χωριστά, δεν μπορούν να ενσωματώσουν ολόκληρο τον κόσμο στον οποίο αναφέρονται. Όπως σας είπα, αυτό δεν μπορεί να γίνει ποτέ. Ποτέ ο άνθρωπος δεν μπορεί να φθάσει το επίπεδο του παντογνώστη όντος του Laplace. Γι΄ αυτό και οι κοινωνικές επιστήμες δεν θα γίνουν ποτέ κλειστές επιστήμες που μπορούν να προσδιορισθούν αποκλειστικά με μαθηματική θεωρία.
Αυτή η παρατήρηση με φέρνει στη δεύτερη κατηγορία που προανέφερα, δηλαδή στη χρήση μαθηματικών μοντέλων για εμπειρική διεύρυνση της λειτουργίας της οικονομίας ή υποσυστήματός της και τη συναγωγή προβλέψεων.
Εδώ η πρόοδος είναι εντυπωσιακή. Η οικονομετρία που χρησιμοποιεί ιδιαίτερα προχωρημένα μαθηματικά και στατιστική, έχει αναπτύξει μοντέλα έρευνας και πρόγνωσης της αγοράς, των τιμών, των μισθών, της παραγωγής της απασχόλησης, των επενδύσεων, του ρυθμού ανάπτυξης. Η ικανότητα πρόβλεψης έχει βελτιωθεί εντυπωσιακά. Δεν θα έλεγα ότι έχει τελειοποιηθεί. Ούτε πρόκειται ποτέ να επιτευχθεί αυτό. Ένας από τους λόγους είναι αυτός που ανέφερα σε σχέση με τα θεωρητικά οικονομικά, δηλαδή την εγγενή αδυναμία της επιστήμης να κατανοήσει και να περιγράψει το σύνολο του κόσμου στον οποίο αναφέρεται.
Υπάρχει όμως και ένας ακόμα λόγος, ιδιαίτερα περιοριστικός. Το μοντέλο που «δοκιμάζεται» με εμπειρικά στοιχεία, και δεν απορρίπτεται ως αναληθές, δεν σημαίνει ότι είναι το μόνο που εξηγεί τη λειτουργία μιας συγκεκριμένης περιόδου. Μπορούν να υπάρχουν και άλλα μοντέλα που «εξηγούν» εξ ίσου καλά την ιστορική συμπεριφορά ενός συστήματος. Το πιο έχει καλύτερη δυνατότητα πρόβλεψης θα φανεί, δυστυχώς, μόνο εκ των υστέρων, εκ του αποτελέσματος. Αυτό εξηγεί γιατί η σημερινή χρηματοπιστωτική κρίση είχε από άλλους προβλεφθεί και από άλλους όχι.
Το μονεταριστικό μοντέλο της κεντρικής τράπεζας των ΗΠΑ, το μοντέλο Greespan, δεν προείδε την κρίση. Είχε εκτιμηθεί – και δεν είχε απορριφθεί από την ανάλυση των ιστορικών στοιχείων – ότι οι αγορές από μόνες τους θα αυτό-ρυθμίζονταν χωρίς να περάσουμε σε ανοικτή κρίση και ύφεση. Άλλα μοντέλα, νέο-κεϋνσιανής απόκλισης, όπως η ανάλυση του Krugman προείδε ότι η φούσκα των στεγαστικών δανείων και των παραγώγων θα οδηγούσε σε κατάρρευση της οικονομικής ισορροπίας. Και αυτή η εμπειρική ανάλυση είχε περάσει το τεστ της σύγκρισής της με την ιστορική συμπεριφορά.
Και τα δύο μοντέλα ήταν κατασκευές ανθρώπινου μυαλού, όπου είτε το θέλουμε είτε όχι, υπεισέρχονται υποκειμενισμοί. Υποκειμενικά κατανοούμε την πραγματικότητα. Τα μαθηματικά και η οικονομετρική ανάλυση δεν μπορούν να μας προφυλάξουν από ανθρώπινες προκαταλήψεις, γιατί τα ιστορικά στοιχεία που χρησιμοποιούμε αφήνουν κενά στην πλήρη κατανόηση του συστήματος που θέλουμε να εξηγήσουμε.
Αν και είναι υπερβολή, υπάρχει και κάποια βάση στο ρητό «Υπάρχουν ψέματα, διαβολεμένα ψέματα και η στατιστική». Συμπεραίνω ότι πρέπει να επικροτήσουμε την πρόοδο που έχει γίνει στην ικανότητα πρόβλεψης με βάση οικονομετρικά μοντέλα, αλλά θα πρέπει να συστήσουμε προσοχή στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Η οικονομετρία δεν είναι η κρυστάλλινη γυάλα που βλέπει το μέλλον.
Αυτό με φέρνει στην τρίτη κατηγορία. Στην χρήση των μαθηματικών και της στατιστικής στην κατάρτιση δεικτών και στη μέτρηση μεγεθών ενδιαφέροντος.
Τις τελευταίες δεκαετίες, παρατηρούμε μια έκρηξη στην παραγωγή ενός μεγάλου φάσματος δεικτών. Δείκτες του δημόσιου χρέους, δείκτες διαφθοράς, δείκτες δημοτικότητας, δείκτες «ευτυχίας», δείκτες ανεργίας κ.α. Χωρίς καμιά αμφιβολία η χρήση αυτών των δεικτών διευκολύνει τα μέγιστα την κατανόηση ενός θέματος και μας βοηθάει σημαντικά να εστιάσουμε καλύτερα το διάλογο με «μετρήσιμα» μεγέθη. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά υποδείγματα, οι δείκτες δεν έχουν αναφορά σε υποθέσεις λειτουργίας ενός συστήματος. Μετρούν απλά ένα φαινόμενο χωρίς να κάνουν οποιαδήποτε ερμηνεία για τις ιδιότητες αυτού του φαινομένου. Το γεγονός ότι η διαφθορά σε μία χώρα έχει αυξηθεί ή ότι είναι υψηλότερη από εκείνη μιας άλλης χώρας δεν επιτρέπει καμιά ερμηνεία για τους παράγοντες που διαμόρφωσαν αυτό το αποτέλεσμα. Συχνά όμως παρατηρείται μια αντιεπιστημονική χρήση των δεικτών και γι” αυτό πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Διάβασα πρόσφατα ένα άρθρο στο οποίο προβαλλόταν ο ισχυρισμός ότι, εφόσον ο δείκτης της ανεργίας έδειχνε αύξηση και ένας άλλος δείκτης, ο δείκτης της εγκληματικότητας, έδειχνε επίσης αύξηση, τότε συνάγεται ότι η ανεργία οδηγεί στην εγκληματικότητα !!! Ενώ το μόνο που θα μπορούσαμε να πούμε είναι ότι η αύξηση της ανεργίας συμπίπτει χρονικά με την αύξηση της εγκληματικότητας. Ας θυμηθούμε και τον παλαιό διασκεδαστικό μύθο ότι ο πελαργός φέρνει το μωρό βασισμένο σε πραγματικό γεγονός όπου σ΄ ένα χωριό η αύξηση των γεννήσεων συνέπεσε με αύξηση του αριθμού των πελαργών στις στέγες των σπιτιών !!!
Θα ήθελα να κλείσω αυτή την εισήγηση με μερικά συμπεράσματα που ελπίζω να σας είναι χρήσιμα στις συζητήσεις σας αύριο και μεθαύριο.
Είναι πεποίθησή μου ότι τα μαθηματικά ως μάθημα γενικής παιδείας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση συμβάλλει σημαντικά στην ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης προσωπικότητας και στην επίδοση του μαθητή σ΄ όλους τους τομείς.
Για να πετύχουμε αυτό το στόχο, πρέπει να αναθεωρήσουμε κατάλληλα το αναλυτικό πρόγραμμα και να εκπαιδεύσουμε ειδικά εκπαιδευτικούς για τέτοια προσέγγιση στα μαθηματικά
Πρέπει να ενθαρρύνουμε μελέτες – ποσοτικές και ποιοτικές – που αναδεικνύουν τη σχέση μεταξύ της διανοητικής ανάπτυξης και των μαθηματικών γενικής παιδείας.
Οι μεγάλες τομές στο χρήση των μαθηματικών στις κοινωνικές επιστήμες επιτυγχάνονται όταν διάφορες επιστήμες συναντώνται και εργάζονται μαζί (η εμπειρία του Β΄ παγκοσμίου πολέμου). Για το λόγο αυτό, πιστεύω ότι πρέπει τα μαθηματικά να μπουν στα προγράμματα σπουδών των κοινωνικών επιστημών και να προωθηθούν δια-τμηματικές έρευνες μεταξύ μαθηματικών και κοινωνικών επιστημών. Από αυτές τις έρευνες θα βελτιωθούν όχι μόνο οι μαθηματικές και στατιστικές αναλύσεις των κοινωνικών επιστημών αλλά και η ίδια η μαθηματική επιστήμη που στην περαιτέρω ανάπτυξή της πρέπει να δίνει προτεραιότητα όχι μόνο στις ανάγκες των θετικών επιστημών αλλά και σε αυτές των κοινωνικών επιστημών.
Σας εύχομαι καλή επιτυχία στις εργασίες σας.
